• Home   /  
  • Archive by category "1"

Amath 301 Homework Solution

AMATH 301 Midterm 1 Study Guide

• Matricies/Vectors:

– Matrices in Matlab: Use commas (",") or spaces to separate elements of a row, and use

semicolons (";") to separate rows and start a new one.
Example:

A =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

is written as:
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9];

• Norms:

– A norm is an abstract notion of a certain kind of distance.
– kxk is a function from R

n

→ R and is a norm when:

– The 1, 2, 3, . . . , ∞ norms (called the p-norms) are given by the equation kxk

p

:= (

P

n
i=1

|x

i

|

p

)

1
p

.

– For p = 1 we get the 1-norm (Manhattan Norm) the sum of the absolute value of all

the elements of x

kxk

1

=

n

X

i=1

|x

i

|

x

1

x

2

x

3

1

= |x

1

| + |x

2

| + |x

3

|

– For p = 2 we get the 2-norm, which is our traditionally understanding of the norm in

that is gives the Euclidean distance (or the magnitude of the vector). Distance "as the
bird flies".

kxk

2

=

v
u
u
t

n

X

i=1

|x

i

|

2

x

1

x

2

x

3

2

=

q

x

2

1

+ x

2

2

+ x

2

3

Note that if the subscript is omitted from the norm (kxk) this is generally taken to be
the 2-norm.

– The ∞-norm (max norm) is the maximum of the absolute value of the element:

kxk

= max

1≤i≤m

|x

i

|

x

1

x

2

x

3

= max(|x

1

|, |x

2

|, |x

3

|)

– Note: kxk

≤ kxk

2

≤ kxk

1

– In Matlab to find the p - norm of a use the command: norm(a, p). By default, Matlab

calculates the 2-norm, so norm(a) gives the 2-norm.

• Matlab commands:

– rand(# rows, # cols) → produces matrix of given size with random entries (between 0

& 1)

– zeros(# rows, # cols) → produces matrix of given size with all entries are zero
– ones(# rows, # cols) → produces matrix with all entries 1
– eye(# rows, # cols) → produces identity matrix (1’s along diagonal, zero everywhere

else)

– size(matrix) → returns dimensions of matrix
– To save a result in a file use the save command:

save a1.dat tmp -ascii
a1.dat is the file name that tmp is saved to. -ascii specifies the format that it will be
saved in.

1

2

– [maxvector, location] = max(A) → returns the maximum element of each column of a

matrix, and their location (index) in the column.
max(A, [ ], 2) ← finds max in each row
max(A(:)) ← finds max in whole matrix

• Matlab logic, loops, and iterations:

– Loops: for statements → Do something for a certain amount of time.

∗ Example:

a = 0;
for j = 1:5 %j will iterate from 1 to 5
a = a+j;
end %ends the loop

∗ If instead use:

for j = 1:2:5

j will iterate from 1 to 5 with step of size 2 (1 → 3 → 5)

∗ Can also iterate j through a set array of numbers:

for j = [3, 0, 6]

so j will equal 3, then 0, then 6.

∗ "break" command breaks out of a loop
∗ "continue" command skips the next iteration

– Logic: if statements: Do something if "

" is true. Example:

if (logical statement)

execute

else if (logical statement)

execute

else

execute

end

• Function handles: Define a function inline

Example:

f = @(x) exp(x)-tan(x);

So now can call f(2) and will evaluate the function at x = 2.

3

• Solving Linear Systems:

– Gaussian Elimiation

∗ We can write a system of linear functions as a function of matrices. For example,

take the system:

2x

1

+ x

2

+ x

3

= 2

x

1

− x

2

− x

3

= 1

x

1

+ 2x

2

+ 0x

3

= 3

This is equivalent to:

2

1

1

1

−1 −1

1

2

0

x

1

x

2

x

3

=

2
1
3

, or Ax = b, where

A =

2

1

1

1

−1 −1

1

2

0

, x =

x

1

x

2

x

3

, b =

2
1
3

∗ To solve this, we subtract equations (rows) to get an upper triangular system

from which we can then back-substitute to find x

1

, x

2

, x

3

.

∗ In Matlab, we use the "backslash" command: x = A\b
∗ Gaussian Elimination has cost: O(n

3

)

– LU factorization

∗ We can decompose a matrix into the product of a lower triangular matrix (L),

a upper triangular matrix (U), and a permutation matrix (P). We can then use
this to solve Ax = b:

P A~

x = P~b

Get LU of PA

LU ~

x = P~b

Let U ~

x = ~

y

then, L~

y = P~b

Since U is upper triangular, just need to back substitute to get x → O(N

2

)

Since L is lower triangular, just need to back substitute to get y → O(N

2

)

∗ Advantages: Though getting L, U, and P is O(N

3

), we only need to do that once,

then we can solve Ax = b using L,U, and P with O(N

2

)

∗ In Matlab to solve Ax = b using LU decomposition:

[L, U, P] = lu(A);
x = U\(L)(P*b);

– Inverses:

∗ The inverse of A

−1

is a matrix such that AA

−1

= I, where I is the identity matrix

∗ If have A

−1

, can solve Ax = b → x = A

−1

b

∗ The inverse only exists if if A is non-singular
∗ Can check singularity of A by checking its determinant. If determinant is zero,

then A is singular (has no inverse). In Matlab use the command det(A) to get
the determinant.

∗ Calculating the determinant may be complex and could have error, so using the

condition number may be more robust. If the condition number of A is high, it
may be singular. cond(A) in Matlab gives the condition number of A.

• Eigenvectors and eigenvalues:

Exam Information

Login / Sign Up to View Document

Sample Document Text

AMATH 301 Practice Test 1 MATLAB COMMANDS YOU MAY NEED polyfit: POLYFIT Fit polynomial to data. POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) of degree N that fits the data, P(X(I)) =Y(I), in a least-squares sense. poIyvaI: POLYVAL Evaluate polynomial. Y = POLYVAL(P,X), when P is a vector of length N + 1 whose elements are the coefficients of a polynomial, is the value of the polynomial evaluated at X. interp1: INTERPII-D interpolation (table lookup). YI = INTERPl(X,Y,XI) interpolates to find VI, the values of the underlying function Y at the points in the vector XI. The vector X specifies the points at which the data Y is given. YI = INTERPl(X,Y,XI,'method') specifies alternate methods. The default is linear interpolation. Available methods are: 'nearest' - nearest neighbor interpolation 'linear' - linear interpolation 'spline' - piecewise cubic spline interpolation (SPLINE) sum: SUM Sum of elements. S = SUM (X) is the sum of the elements of the vector X. If X is ...

Related Documents

Triangular Matrix Notes

Matrix-Vector Product Notes

Square Matrix Exam

Square Matrix Exam

Permutation Notes

Square Matrix Exam

Important Problem Notes

Upper Triangular Notes

Complicated Notes

Exact Linear Exam

Eigenvalues Notes

Inexpensive Notes

Inexpensive Notes

Computational Cost Notes

Previous Equation Notes

Positive Definite Notes

© Copyright 2018 , Koofers, Inc. All rights reserved.

The information provided on this site is protected by U.S. and International copyright law, and other applicable intellectual property laws, including laws covering data access and data compilations. This information is provided exclusively for the personal and academic use of students, instructors and other university personnel. Use of this information for any commercial purpose, or by any commercial entity, is expressly prohibited. This information may not, under any circumstances, be copied, modified, reused, or incorporated into any derivative works or compilations, without the prior written approval of Koofers, Inc.

One thought on “Amath 301 Homework Solution

Leave a comment

L'indirizzo email non verrà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *